【雑記】第48回 数学的頭の体操の紹介について
このブログでは、自分の実体験をもとに色々役に立つ情報や雑記を記載していきます。
本日のテーマは「数学的頭の体操の紹介について」です。
先日、このブログで「フェルマーの最終定理」という本を紹介しました。
この本の中に数学の問題がたくさん紹介されていました。
難解なものもありましたが、考えればできる頭を使ってできる頭の体操程度の
ものもあったので、本日はこちらを紹介したいと思います。
本の紹介ブログはこちら。
後編
1.【始めに】頭の体操は大切
皆さん、最近頭のトレーニングというものってやられていますか?
一昔前は「脳トレ」などが流行ったりしましたが
最近はスマホゲームに圧倒されて、あまり見なくなった気がします。
自分はまったくスマホゲームというものをやらないのですが
「課金して強くなる」というようなものや「放置して強くなる」などと
いうものを聞いたりすると、あまり考えないでも
遊べてしまうのかなーと思ったりします。
そういったゲームだけばかりでは思考が鈍ってくるので
たまには頭を働かせる、というの面白いかと思います。
是非とも挑戦してみてください。
2.【挑戦】数字のパズルと騙されそうな問題
まずは簡単な問題から。
「ディオファントスの生涯」という問題です。
結構有名な問題なので知っている人もいるかも?
問1.下記の経歴からディオファントスが何歳まで生きたか求めてください。
ディオファントスの生涯の、1/6は子供時代であった。
1/12は青春時代であった。
それから結婚するまでに1/7の期間があった。
結婚してから5年後に一人息子が生まれた。
その息子の生涯は、ディオファントスの生涯の1/2であった。
4年間悲しんだ後、ディオファントスは亡くなった。
2問目は「バシェの分銅」という問題です。
問題文は簡単ですが…?
問2.1 kg から40 kg までの整数で表わされる物の重さを測るためには
最低何個の分銅が必要か答えなさい。
(天秤を使って測るものと考えてください)
3問目はちょっと難しいので3択にします。
「誕生日の確率」の問題です。
問3.サッカー場に11人のチームが2チームと、レフェリーが1人います。
この23人の中で、同じ誕生日のペアがいる確率は何%でしょうか?
①約15%
②約33%
③約50%
いかがだったでしょうか?
では回答を書いていきます。
まだ見たくない人は高速でスクロールしてください(笑)
問1.ディオファントスの生涯
ディオファントスの年齢を x歳とします。
そして、話の中にある式を全て足すと下記の式となります。
x=x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
この式の分数を無くして整理するには、7と12の最小公倍数(久々に使った…)の
84を両辺に掛ければいいことになります。
84x=14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 4
∴9X=756
∴x=84
このことから、ディオファントスは84歳まで生きたことになります。
問2.バシェの分銅の問題
1 kg から40 kg までの整数を表すのに、単純に足し算で考えたら
1,2,4,8,16,32 kg の6個の分銅が必要であると考えられます。
欠けている3は1+2=3,5は1+4…といった感じで足していけば出る、というものです。
しかし測定されるものの側にも分銅を置けるとしたらどうでしょうか?
そうすると分銅の重さの足し算だけではなく、引き算も絡めることができます。
そうすると分銅は1,3,9,27 kg の4つで賄うことができます。
2=3-1
5=9-3-1
…
40=1+3+9+27
問3.誕生日の確率の問題
この場合、同じ誕生日が「いない」確立を考えると式が簡単です。
「いる」場合を考えるには100%から「いない」場合を引けばいいだけです。
誕生日はうるう年を含めると全部で366日あります。
1人では同じ誕生日が「いない」確率は100%です。
では、2人の人の誕生日が「違う」確率を求める計算はどうなるでしょうか?
AさんとBさんがいたとすると、
Bさんの誕生日は、366日のうちのAさんとは違う365日のうちのどれか、ということになるので
式はこうなります。
366/366 x 365/366 x 100 = 99.73[%]
同じ誕生日である確率は、100-99.73=0.27[%]ということになります。
これと同じ計算をずっと繰り返していくのですが
だんだん、%の上がる速さが上がってきます。
そして23人まで見た時が下表です。
なんと、23人のうち誕生日のペアがいる確率というのは約50%になります。
なので、答えは③です。結構意外な気がしませんか?
自分が大学の吹奏楽サークルに入っていた時、80人くらいいましたが
確かに同じ誕生日のペアって何組かいて、「お、めずらしい」なんて思っていましたが
確率で見ると結構必然的なものなんですね。
3.【まとめ】難しい数式を使わなくてもできる
本日は「数学的頭の体操の紹介」について書きました。
本日紹介したこの問題等は、難しい式を使う必要もなく
ちょっと頭をひねれば答えを導き出すことができます。
明日から連休が始まりますが、まだこの状況下で
外に出かけるのはまだ控えたい、という方もいらっしゃると思います。
家で過ごす時間の中で、ちょっとだけ紙に式や線を書きながら
頭を働かせてみてはいかがでしょうか?
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